Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común. Las ecuaciones pueden tener varios tipos de soluciones:
Una solución.
Infinitas soluciones.
Sin solución.
Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución.
Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución.
Para resolver un sistema de N ecuaciones con N incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:
Sustitución
A través del método de sustitución lo que debemos hacer es despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la siguiente.
Lo veremos con más detalle en el siguiente ejemplo:
x + y = 7
5x - 2y= - 7
Lo primero que hacemos es despejamos una de las incógnitas en la primera ecuación.
x + y=7
x= 7-y
Posteriormente, sustituimos en la segunda ecuación el valor correspondiente de la «x».
5x - 2y = - 7 5
(7-y) - 2y = - 7
Ahora, despejamos la «y».
35 - 5y - 2y = - 7
35 - 7y = -7 - 7y = - 7 - 35
- 7y = - 42
y = - 42 / - 7 = 6
y = 6
Por último, utilizamos el valor de «y» para hallar el valor de «x».
x = 7 - y
x = 7 - 6 = 1
x = 1
Reducción
Con el método de reducción lo que hacemos es combinar, sumando o restando, nuestras ecuaciones para que desaparezca una de nuestras incógnitas.
Los pasos a seguir son los siguientes:
x + y = 7
5x - 2y = -7
En primer lugar, necesitamos preparar las dos ecuaciones, si es necesario, multiplicándolas por los números que convenga.
En este caso, queremos reducir la «y» de nuestro sistema, por tanto, multiplicamos la primera ecuación por 2.
2 (x + y = 7)
5x - 2y = - 7
Así, el sistema se queda:
2x + 2y = 14
10x - 4y = - 7
Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la y nos desaparece.
2x + 2y = 14
+5x - 2y = -7
________________
7 x 0 = 7
Y nos quedaría:
7x = 7
x = 7 / 7 = 1
x = 1
Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales.
y = 7 - x
y = 7 - 1 = 6
y = 6
Igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y después igualar los resultados.
Los pasos a seguir son los siguientes:
En primer lugar, elegimos la incógnita que deseamos despejar. En este caso, empezaré por la «x» y despejo la misma en ambas ecuaciones.
x + y = 7 ; x = 7 - y
5x - 2y = - 7 ; 5x = 2y - 7 ; x = ( 2y - 7 ) / 5
Una vez hemos despejado, igualamos:
7 - y = ( 2y - 7 ) / 5
5 ( 7 - y = ( 2y - 7 ) / 5 )
35 - 5y = 2y - 7
42 = 7y
y = 42 / 7 = 6
y = 6
Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales.
x = 7 - y
x = 7 - 6 = 1
x = 1
Cramer
Vamos a solucionar el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2×2:
Antes de iniciar con el paso a paso de este método, es pertinente recordar qué es una matriz 2×2 y qué es un determinante.
Una matriz 2×2 no es más que un arreglo de elementos que posee dos columnas y dos filas
Y un determinante de una matriz 2×2 consiste en restar el producto de las diagonales de la matriz:
Veamos que sí es la resta del producto de las diagonales:
Método de las determinantes (Regla de Cramer)
Paso 1. Se prepara la matriz de los coeficientes y se halla el determinante
Identificamos los coeficientes de las incógnitas y construimos la matriz M con ellos:
Calculamos su determinante:
Bien, ya tenemos que el determinante de la matriz de coeficientes es -7
Paso 2. Se prepara la matriz de la incógnita x, y se halla el determinante
La matriz de la incógnita X es la misma matriz de coeficientes con una diferencia.
En lugar de colocar los coeficientes de X, se ubican los valores numéricos que quedaron al otro lado de las ecuaciones.
Veamos:
Ya con esto tenemos la Matriz de X, y procedemos a calcular su determinante:
El determinante de la Matriz X es -49
Paso 3. Se prepara la matriz de la incógnita y, y se halla el determinante
La matriz de la incógnita Y es la misma matriz de coeficientes con una diferencia.
En lugar de colocar los coeficientes de Y, se ubican los valores numéricos que quedaron al otro lado de las ecuaciones.
Veamos:
Ya con esto tenemos la Matriz de Y, y procedemos a calcular su determinante:
El determinante de la Matriz Y es -14
Paso 4. Hallamos el valor de las incógnitas.
El valor de Y va a ser igual al determinante de la matriz
Y dividido en el determinante de la matriz de coeficientes:
El valor de X va a ser igual al determinante de la matriz X dividido en el determinante de la matriz de coeficientes:
Resolvemos:
Paso 5. Verificación de la solución del sistema.
Nuestra solución:
Reemplazamos los valores obtenidos para cada una de las incógnitas en ambas ecuaciones con la finalidad de verificar que se cumpla la igualdad en ambos casos:
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